, Башкиров А.Г.1, Витязев А.В.1, Рудой Ю.Г.2
1Институт динамики геосфер РАН, 117729, Москва, Ленинский пр. 38 (корп.6), Россия
2Российский университет дружбы народов, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая 6, Россия
Дан краткий обзор применяемых в последние годы обобщенных мер информации I и энтропии S = - I, введенных Реньи [1] и Цаллисом [2] в следующем виде
,
где k - константа, s - любое положительное вещественное число, 
- вероятность дискретного i-го микросостояния, удовлетворяющего условию
нормировки 
. В частном случае s=1 обе энтропии
совпадают с обычной энтропией Больцмана - Шеннона:
.
Введение величин SR (s) и ST (s) при 
не противоречит
трем основным аксиомам Хинчина [3] для информационной меры любой системы,
описываемой вероятностным распределением 
(или
его непрерывным обобщением p(x)). Случай 
предполагает
альтернативную, но вполне естественную формулировку четвертой аксиомы,
определяющей меру информации для случая объединения двух подсистем в одну.
Наиболее существенным результатом введения информационных мер Реньи и Цаллиса является возможность получения с их помощью не экспоненциальных (гиббсовских или больцмановских), а распределений типа Вейбулла или степенных. Действительно, применение принципа максимума информационной энтропии Джейнса [4] к альтернативным энтропиям при учете дополнительного условия фиксированного среднего значения какой-либо функции состояния системы, пропорциональной xr, приводит к аналогу канонического распределения в виде
,
где , - множители Лагранжа. В пределе 
это
распределение переходит в каноническое распределение Гиббса, а для достаточно
больших x переходит в степенное распределение 
.
Показатель этого распределения 
и, соответственно
значение числа Реньи или Цаллиса s определяются конкретными свойствами
рассматриваемой системы (см., например [5], где соответствующий расчет
выполнен для астрофизической задачи об импактном разрушении астероида).
Распределения подобного рода могут представлять значительный интерес
в ряде задач биологии и экологии [6].